To make {(C^2 – A^2), (C^2 – B^2), (B^2 – A^2)} squares

 
 
Find positive integers   A, B, C   such that

C + A,        C - A,
B + A,        B - A
C + B,        C - B
C^2 - A^2,        C^2 - B^2,        B^2 - A^2

are all squares.

 

Here are some solutions:
 

#1 :     (A, B, C)   =   (88642,   891458,   3713858)

C \; + \; A \; = \; 3713858 \; + \; 88642 \; = \; 1950^2
C \; - \; A \; = \; 3713858 \; - \; 88642 \; = \; 1904^2
B \; + \; A \; = \; 891458 \; + \; 88642 \; = \; 990^2
B \; - \; A \; = \; 891458 \; - \; 88642 \; = \; 896^2
C \; + \; B \; = \; 3713858 \; + \; 891458 \; = \; 2146^2
C \; - \; B \; = \; 3713858 \; - \; 891458 \; = \; 1680^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 3713858^2 \; - \; 88642^2 \; = \; 3712800^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 3713858^2 \; - \; 891458^2 \; = \; 3605280^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 891458^2 \; - \; 88642^2 \; = \; 887040^2

 

#2 :     (A, B, C)   =  (5016718,   25719218,   53597618)

C \; + \; A \; = \; 53597618 \; + \; 5016718 \; = \; 7656^2
C \; - \; A \; = \; 53597618 \; - \; 5016718 \; = \; 6970^2
B \; + \; A \; = \; 25719218 \; + \; 5016718 \; = \; 5544^2
B \; - \; A \; = \; 25719218 \; - \; 5016718 \; = \; 4550^2
C \; + \; B \; = \; 53597618 \; + \; 25719218 \; = \; 8906^2
C \; - \; B \; = \; 53597618 \; - \; 25719218 \; = \; 5280^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 53597618^2 \; - \; 5016718^2 \; = \; 53362320^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 53597618^2 \; - \; 25719218^2 \; = \; 47023680^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 25719218^2 \; - \; 5016718^2 \; = \; 25225200^2

 

#3 :     (A, B, C)   =   (26633678,   29316722,  40606322)

C \; + \; A \; = \; 40606322 \; + \; 26633678 \; = \; 8200^2
C \; - \; A \; = \; 40606322 \; - \; 26633678 \; = \; 3738^2
B \; + \; A \; = \; 29316722 \; + \; 26633678 \; = \; 7480^2
B \; - \; A \; = \; 29316722 \; - \; 26633678 \; = \; 1638^2
C \; + \; B \; = \; 40606322 \; + \; 29316722 \; = \; 8362^2
C \; - \; B \; = \; 40606322 \; - \; 29316722 \; = \; 3360^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 40606322^2 \; - \; 26633678^2 \; = \; 30651600^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 40606322^2 \; - \; 29316722^2 \; = \; 28096320^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 29316722^2 \; - \; 26633678^2 \; = \; 12252240^2

 
#4 :     (A, B, C)   =   (1814958658,   1839243842,   2010958658)

C \; + \; A \; = \; 2010958658 \; + \; 1814958658 \; = \; 61854^2
C \; - \; A \; = \; 2010958658 \; - \; 1814958658 \; = \; 14000^2
B \; + \; A \; = \; 1839243842 \; + \; 1814958658 \; = \; 60450^2
B \; - \; A \; = \; 1839243842 \; - \; 1814958658 \; = \; 4928^2
C \; + \; B \; = \; 2010958658 \; + \; 1839243842 \; = \; 62050^2
C \; - \; B \; = \; 2010958658 \; - \; 1839243842 \; = \; 13104^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 2010958658^2 \; - \; 1814958658^2 \; = \; 865956000^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 2010958658^2 \; - \; 1839243842^2 \; = \; 813103200^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 1839243842^2 \; - \; 1814958658^2 \; = \; 297897600^2

 
#5 :     (A, B, C)   =   (348650242,   683686658,   1160672258)

C \; + \; A \; = \; 1160672258 \; + \; 348650242 \; = \; 38850^2
C \; - \; A \; = \; 1160672258 \; - \; 348650242 \; = \; 28496^2
B \; + \; A \; = \; 683686658 \; + \; 348650242 \; = \; 32130^2
B \; - \; A \; = \; 683686658 \; - \; 348650242 \; = \; 18304^2
C \; + \; B \; = \; 1160672258 \; + \; 683686658 \; = \; 42946^2
C \; - \; B \; = \; 1160672258 \; - \; 683686658 \; = \; 21840^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 1160672258^2 \; - \; 348650242^2 \; = \; 1107069600^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 1160672258^2 \; - \; 683686658^2 \; = \; 937940640^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 683686658^2 \; - \; 348650242^2 \; = \; 588107520^2

 
#6 :     (A, B, C)   =   (1010158,   15832658,   27122258)

C \; + \; A \; = \; 27122258 \; + \; 1010158 \; = \; 5304^2
C \; - \; A \; = \; 27122258 \; - \; 1010158 \; = \; 5110^2
B \; + \; A \; = \; 15832658 \; + \; 1010158 \; = \; 4104^2
B \; - \; A \; = \; 15832658 \; - \; 1010158 \; = \; 3850^2
C \; + \; B \; = \; 27122258 \; + \; 15832658 \; = \; 6554^2
C \; - \; B \; = \; 27122258 \; - \; 15832658 \; = \; 3360^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 27122258^2 \; - \; 1010158^2 \; = \; 27103440^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 27122258^2 \; - \; 15832658^2 \; = \; 22021440^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 15832658^2 \; - \; 1010158^2 \; = \; 15800400^2

 
#7 :     (A, B, C)   =   (9402477602,   9413131298,   12486724898)

C \; + \; A \; = \; 12486724898 \; + \; 9402477602 \; = \; 147950^2
C \; - \; A \; = \; 12486724898 \; - \; 9402477602 \; = \; 55536^2
B \; + \; A \; = \; 9413131298 \; + \; 9402477602 \; = \; 137170^2
B \; - \; A \; = \; 9413131298 \; - \; 9402477602 \; = \; 3264^2
C \; + \; B \; = \; 12486724898 \; + \; 9413131298 \; = \; 147986^2
C \; - \; B \; = \; 12486724898 \; - \; 9413131298 \; = \; 55440^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 12486724898^2 \; - \; 9402477602^2 \; = \; 8216551200^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 12486724898^2 \; - \; 9413131298^2 \; = \; 8204343840^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 9413131298^2 \; - \; 9402477602^2 \; = \; 447722880^2

 
#8 :     (A, B, C)   =   (10329411854, 12820819250, 20452588850)

C \; + \; A \; = \; 20452588850 \; + \; 10329411854 \; = \; 175448^2
C \; - \; A \; = \; 20452588850 \; - \; 10329411854 \; = \; 100614^2
B \; + \; A \; = \; 12820819250 \; + \; 10329411854 \; = \; 152152^2
B \; - \; A \; = \; 12820819250 \; - \; 10329411854 \; = \; 49914^2
C \; + \; B \; = \; 20452588850 \; + \; 12820819250 \; = \; 182410^2
C \; - \; B \; = \; 20452588850 \; - \; 12820819250 \; = \; 87360^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 20452588850^2 \; - \; 10329411854^2 \; = \; 17652525072^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 20452588850^2 \; - \; 12820819250^2 \; = \; 15935337600^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 12820819250^2 \; - \; 10329411854^2 \; = \; 7594514928^2

 
#9 :     (A, B, C)   =   (955242946,   4041267650,   6438349250)

C \; + \; A \; = \; 6438349250 \; + \; 955242946 \; = \; 85986^2
C \; - \; A \; = \; 6438349250 \; - \; 955242946 \; = \; 74048^2
B \; + \; A \; = \; 4041267650 \; + \; 955242946 \; = \; 70686^2
B \; - \; A \; = \; 4041267650 \; - \; 955242946 \; = \; 55552^2
C \; + \; B \; = \; 6438349250 \; + \; 4041267650 \; = \; 102370^2
C \; - \; B \; = \; 6438349250 \; - \; 4041267650 \; = \; 48960^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 6438349250^2 \; - \; 955242946^2 \; = \; 6367091328^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 6438349250^2 \; - \; 4041267650^2 \; = \; 5012035200^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 4041267650^2 \; - \; 955242946^2 \; = \; 3926748672^2

 
#10 :     (A, B, C)   =   (197629680814,   272428648850,   341114575250)

C \; + \; A \; = \; 341114575250 \; + \; 197629680814 \; = \; 733992^2
C \; - \; A \; = \; 341114575250 \; - \; 197629680814 \; = \; 378794^2
B \; + \; A \; = \; 272428648850 \; + \; 197629680814 \; = \; 685608^2
B \; - \; A \; = \; 272428648850 \; - \; 197629680814 \; = \; 273494^2
C \; + \; B \; = \; 341114575250 \; + \; 272428648850 \; = \; 783290^2
C \; - \; B \; = \; 341114575250 \; - \; 272428648850 \; = \; 262080^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 341114575250^2 \; - \; 197629680814^2 \; = \; 278031765648^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 341114575250^2 \; - \; 272428648850^2 \; = \; 205284643200^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 272428648850^2 \; - \; 197629680814^2 \; = \; 187509674352^2

 
#11 :     (A, B, C)   =   (2401225198,   3259832402,   5167774802)

C \; + \; A \; = \; 5167774802 \; + \; 2401225198 \; = \; 87000^2
C \; - \; A \; = \; 5167774802 \; - \; 2401225198 \; = \; 52598^2
B \; + \; A \; = \; 3259832402 \; + \; 2401225198 \; = \; 75240^2
B \; - \; A \; = \; 3259832402 \; - \; 2401225198 \; = \; 29302^2
C \; + \; B \; = \; 5167774802 \; + \; 3259832402 \; = \; 91802^2
C \; - \; B \; = \; 5167774802 \; - \; 3259832402 \; = \; 43680^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 5167774802^2 \; - \; 2401225198^2 \; = \; 4576026000^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 5167774802^2 \; - \; 3259832402^2 \; = \; 4009911360^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 3259832402^2 \; - \; 2401225198^2 \; = \; 2204682480^2

 
#12 :     (A, B, C)   =   (348786927598,   359274735698,   397252950098)

C \; + \; A \; = \; 397252950098 \; + \; 348786927598 \; = \; 863736^2
C \; - \; A \; = \; 397252950098 \; - \; 348786927598 \; = \; 220150^2
B \; + \; A \; = \; 359274735698 \; + \; 348786927598 \; = \; 841464^2
B \; - \; A \; = \; 359274735698 \; - \; 348786927598 \; = \; 102410^2
C \; + \; B \; = \; 397252950098 \; + \; 359274735698 \; = \; 869786^2
C \; - \; B \; = \; 397252950098 \; - \; 359274735698 \; = \; 194880^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 397252950098^2 \; - \; 348786927598^2 \; = \; 190151480400^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 397252950098^2 \; - \; 359274735698^2 \; = \; 169503895680^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 359274735698^2 \; - \; 348786927598^2 \; = \; 86174328240^2

 
#13 :     (A, B, C)   =   (412962593440642,   414296378211458,   419547442121858)

C \; + \; A \; = \; 419547442121858 \; + \; 412962593440642 \; = \; 28853250^2
C \; - \; A \; = \; 419547442121858 \; - \; 412962593440642 \; = \; 2566096^2
B \; + \; A \; = \; 414296378211458 \; + \; 412962593440642 \; = \; 28762110^2
B \; - \; A \; = \; 414296378211458 \; - \; 412962593440642 \; = \; 1154896^2
C \; + \; B \; = \; 419547442121858 \; + \; 414296378211458 \; = \; 28876354^2
C \; - \; B \; = \; 419547442121858 \; - \; 414296378211458 \; = \; 2291520^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 419547442121858^2 \; - \; 412962593440642^2 \; = \; 74040209412000^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 419547442121858^2 \; - \; 414296378211458^2 \; = \; 66170742718080^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 414296378211458^2 \; - \; 412962593440642^2 \; = \; 33217245790560^2

 
#14 :     (A, B, C)   =   (248406828418, 948319774082, 1200982828418)

C \; + \; A \; = \; 1200982828418 \; + \; 248406828418 \; = \; 1203906^2
C \; - \; A \; = \; 1200982828418 \; - \; 248406828418 \; = \; 976000^2
B \; + \; A \; = \; 948319774082 \; + \; 248406828418 \; = \; 1093950^2
B \; - \; A \; = \; 948319774082 \; - \; 248406828418 \; = \; 836608^2
C \; + \; B \; = \; 1200982828418 \; + \; 948319774082 \; = \; 1466050^2
C \; - \; B \; = \; 1200982828418 \; - \; 948319774082 \; = \; 502656^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 1200982828418^2 \; - \; 248406828418^2 \; = \; 1175012256000^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 1200982828418^2 \; - \; 948319774082^2 \; = \; 736918828800^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 948319774082^2 \; - \; 248406828418^2 \; = \; 915207321600^2

 
#15 :     (A, B, C)   =   (112313186, 473617250, 3547210850)

C \; + \; A \; = \; 3547210850 \; + \; 112313186 \; = \; 60494^2
C \; - \; A \; = \; 3547210850 \; - \; 112313186 \; = \; 58608^2
B \; + \; A \; = \; 473617250 \; + \; 112313186 \; = \; 24206^2
B \; - \; A \; = \; 473617250 \; - \; 112313186 \; = \; 19008^2
C \; + \; B \; = \; 3547210850 \; + \; 473617250 \; = \; 63410^2
C \; - \; B \; = \; 3547210850 \; - \; 473617250 \; = \; 55440^2

C^2 \; - \; A^2 \; = \; 3547210850^2 \; - \; 112313186^2 \; = \; 3545432352^2
C^2 \; - \; B^2 \; = \; 3547210850^2 \; - \; 473617250^2 \; = \; 3515450400^2
B^2 \; - \; A^2 \; = \; 473617250^2 \; - \; 112313186^2 \; = \; 460107648^2

 
 

Find other solutions
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Advertisements

About benvitalis

math grad - Interest: Number theory
This entry was posted in Number Puzzles and tagged . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s