## 1 + 2 + 3 + … + m^2 = A^2

Let   $S(n)$   denote the sum of the first   $n$   positive integers where both   $n$   and   $S(n)$   are perfect squares.

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; m^2 \; = \; A^2$,     where    $n = m^2$

Here are the first few solutions:

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 7^2$
$= \; 1225$
$= \; 35^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 41^2$
$= \; 1413721$
$= \; 1189^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 239^2$
$= \; 1631432881$
$= \; 40391^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 1393^2$
$= \; 1882672131025$
$= \; 1372105^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 8119^2$
$= \; 2172602007770041$
$= \; 46611179^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 47321^2$
$= \; 2507180834294496361$
$= \; 1583407981^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 275807^2$
$= \; 2893284510173841030625$
$= \; 53789260175^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 1607521^2$
$= \; 3338847817559778254844961$
$= \; 1827251437969^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 9369319^2$
$= \; 3853027488179473932250054441$
$= \; 62072759630771^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 54608393^2$
$= \; 4446390382511295358038307980025$
$= \; 2108646576008245^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 318281039^2$
$= \; 5131130648390546663702275158894481$
$= \; 71631910824649559^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 1855077841^2$
$= \; 5921320321852308338617067495056251121$
$= \; 2433376321462076761^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 10812186007^2$
$= \; 6833198520286915432217432187019754899225$
$= \; 82663163018885960315^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 63018038201^2$
$= \; 7885505171090778556470578126753302097454601$
$= \; 2808114166320660573949^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 367296043199^2$
$= \; 9099866134240238167251614940841123600707710401$
$= \; 95393218491883573553951^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 2140758220993^2$
$= \; 10501237633408063754229807171152529881914600348225$
$= \; 3240561314557720840260385^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 12477253282759^2$
$= \; 12118419129086771332143030223895078642605848094141321$
$= \; 110083691476470624995299139^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 72722761475561^2$
$= \; 13984645173728500709229302648567749601037266786038736281$
$= \; 3739604948885443528999910341^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 423859315570607^2$
$= \; 16138268412063560731679283113416959144518363265240607527025$
$= \; 127036484570628609361001652455^2$

$1 \; + \; 2 \; + \; 3 \; + \; ... \; + \; 2470433131948081^2$
$= \; 18623547762876175355857183483580522285024590170820875047450641$
$= \; 4315500870452487274745056273129^2$

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