## Concatenation: aa||bb||cc||dd + 1, aaa||bbb + 1 are squares

Numbers of the form   $aaa \; || \; bbb$   such that   $aaa \; || \; bbb + 1$   is a square :

$22200 \; + \; 1 \; = \; 149^2$

$111 \; || \; 555 \; + \; 1 \; = \; 334^2$
$1111 \; || \; 5555 \; + \; 1 \; = \; 3334^2$
$11111 \; || \; 55555 \; + \; 1 \; = \; 33334^2$
……………………..
……………………..

$444 \; || \; 888 \; + \; 1 \; = \; 667^2$
$4444 \; || \; 8888 \; + \; 1 \; = \; 6667^2$
$44444 \; || \; 88888 \; + \; 1 \; = \; 66667^2$
………………………….
………………………….

$7^2 \; - \; 4^2 \; = \; 33$
$67^2 \; - \; 34^2 \; = \; 3333$
$667^2 \; - \; 334^2 \; = \; 333333$
$6667^2 \; - \; 3334^2 \; = \; 33333333$
……………………….
……………………….

Numbers of the form   $aa \; || \; bb \; || \; cc \; || \; dd + 1$   is a square :

$11 \; || \; 33 \; || \; 66 \; || \; 88 \; + \; 1 \; = \; 3367^2$
$111 \; || \; 333 \; || \; 666 \; || \; 888 \; + \; 1 \; = \; 333667^2$
$1111 \; || \; 3333 \; || \; 6666 \; || \; 8888 \; + \; 1 \; = \; 33336667^2$
$11111 \; || \; 33333 \; || \; 66666 \; || \; 88888 \; + \; 1 \; = \; 3333366667^2$
…………………………….
…………………………….

$22886655 \; + \; 1 \; = \; 4784^2$

$44 \; || \; 00 \; || \; 99 \; || \; 55 \; + \; 1 \; = \; 6634^2$
$444 \; || \; 000 \; || \; 999 \; || \; 555 \; + \; 1 \; = \; 666334^2$
$4444 \; || \; 0000 \; || \; 9999 \; || \; 5555 \; + \; 1 \; = \; 66663334^2$
$44444 \; || \; 00000 \; || \; 99999 \; || \; 55555 \; + \; 1 \; = \; 6666633334^2$

$634^2 \; - \; 367^2 \; = \; 267 \; \times \; 1001$
$6634^2 \; - \; 3367^2 \; = \; 3267 \; \times \; 10001$
$66634^2 \; - \; 33367^2 \; = \; 33267 \; \times \; 100001$
$666634^2 \; - \; 333367^2 \; = \; 333267 \; \times \; 1000001$
…………………………………
…………………………………

Can you find other examples?