A^2 + B^2 + C^2 = D^2 + E^2 + F^2, and A*B*C=D*E*F

 
 
Solve

A^2 \; + \; B^2 \; + \; C^2 \; = \; D^2 \; + \; E^2 \; + \; F^2,    and
A \cdot B \cdot C \; = \; D \cdot E \cdot F

with   A, \; B, \; C, \; D, \; E, \; F   positive integers.

 
 

Pipo found :

 
For    A = 1

1^2 \; + \; 10^2 \; + \; 12^2 \; = \; 2^2 \; + \; 4^2 \; + \; 15^2 \; = \; 245
1 \; \times \; 10 \; \times \; 12 \; = \; 2 \; \times \; 4 \; \times \; 15 \; = \; 120

1^2 \; + \; 17^2 \; + \; 30^2 \; = \; 3^2 \; + \; 5^2 \; + \; 34^2 \; = \; 1190
1 \; \times \; 17 \; \times \; 30 \; = \; 3 \; \times \; 5 \; \times \; 34 \; = \; 510

1^2 + 28^2 \; + \; 42^2 \; = \; 2^2 \; + \; 12^2 \; + \; 49^2 \; = \; 2549
1 \; \times \; 28 \; \times \; 42 \; = \; 2 \; \times \; 12 \; \times \; 49 \; = \; 1176

1^2 \; + \; 33^2 \; + \; 45^2 \; = \; 3^2 \; + \; 9^2 \; + \; 55^2 \; = \; 3115
1 \; \times \; 33 \; \times \; 45 \; = \; 3 \; \times \; 9 \; \times \; 55 \; = \; 1485

1^2 \; + \; 23^2 \; + \; 66^2 \; = \; 2^2 \; + \; 11^2 \; + \; 69^2 \; = \; 4886
1 \; \times \; 23 \; \times \; 66 \; = \; 2 \; \times \; 11 \; \times \; 69 \; = \; 1518

1^2 \; + \; 26^2 \; + \; 60^2 \; = \; 4^2 \; + \; 6^2 \; + \; 65^2 \; = \; 4277
1 \; \times \; 26 \; \times \; 60 \; = \; 4 \; \times \; 6 \; \times \; 65 \; = \; 1560

1^2 \; + \; 32^2 \; + \; 56^2 \; = \; 4^2 \; + \; 7^2 \; + \; 64^2 \; = \; 4161
1 \; \times \; 32 \; \times \; 56 \; = \; 4 \; \times \; 7 \; \times \; 64 \; = \; 1792

1^2 \; + \; 33^2 \; + \; 70^2 \; = \; 5^2 \; + \; 6^2 \; + \; 77^2 \; = \; 5990
1 \; \times \; 33 \; \times \; 70 \; = \; 5 \; \times \; 6 \; \times \; 77 \; = \; 2310

1^2 \; + \; 38^2 \; + \; 68^2 \; = \; 2^2 \; + \; 17^2 \; + \; 76^2 \; = \; 6069
1 \; \times \; 38 \; \times \; 68 \; = \; 2 \; \times \; 17 \; \times \; 76 \; = \; 2584

1^2 \; + \; 40^2 \; + \; 42^2 \; = \; 2^2 \; + \; 15^2 \; + \; 56^2 \; = \; 3365
1 \; \times \; 40 \; \times \; 42 \; = \; 2 \; \times \; 15 \; \times \; 56 \; = \; 1680

1^2 \; + \; 40^2 \; + \; 52^2 \; = \; 4^2 \; + \; 8^2 \; + \; 65^2 \; = \; 4305
1 \; \times \; 40 \; \times \; 52 \; = \; 4 \; \times \; 8 \; \times \; 65 \; = \; 2080

1^2 \; + \; 49^2 \; + \; 78^2 \; = \; 3^2 \; + \; 14^2 \; + \; 91^2 \; = \; 8486
1 \; \times \; 49 \; \times \; 78 \; = \; 3 \; \times \; 14 \; \times \; 91 \; = \; 3822

1^2 \; + \; 52^2 \; + \; 57^2 \; = \; 3^2 \; + \; 13^2 \; + \; 76^2 \; = \; 5954
1 \; \times \; 52 \; \times \; 57 \; = \; 3 \; \times \; 13 \; \times \; 76 \; = \; 2964

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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math grad - Interest: Number theory
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4 Responses to A^2 + B^2 + C^2 = D^2 + E^2 + F^2, and A*B*C=D*E*F

  1. pipo says:

    Here are some:
    Format: (a b c), (d e f) a*b*c=d*e*f, a^2+b^2+c^2 = d^2+e^2+f^2
    (1 10 12) (2 4 15) 120 245
    (2 11 20) (4 5 22) 440 525
    (1 17 30) (3 5 34) 510 1190
    (2 13 24) (3 8 26) 624 749
    (2 20 21) (5 6 28) 840 845
    (3 16 20) (5 8 24) 960 665
    (2 20 24) (4 8 30) 960 980
    (1 28 42) (2 12 49) 1176 2549
    (1 33 45) (3 9 55) 1485 3115
    (1 23 66) (2 11 69) 1518 4886
    (3 20 26) (4 13 30) 1560 1085
    (1 26 60) (4 6 65) 1560 4277
    (2 24 35) (3 14 40) 1680 1805
    (1 40 42) (2 15 56) 1680 3365
    (1 32 56) (4 7 64) 1792 4161
    (4 21 22) (6 11 28) 1848 941
    (1 40 52) (4 8 65) 2080 4305
    (1 33 70) (5 6 77) 2310 5990
    (1 38 68) (2 17 76) 2584 6069
    (5 22 24) (8 11 30) 2640 1085
    (2 36 39) (6 9 52) 2808 2821
    (1 52 57) (3 13 76) 2964 5954
    (2 29 52) (4 13 58) 3016 3549
    (3 19 55) (5 11 57) 3135 3395
    (4 27 30) (5 18 36) 3240 1645
    (3 30 36) (6 12 45) 3240 2205
    (2 36 45) (3 20 54) 3240 3325
    (2 31 55) (5 11 62) 3410 3990
    (4 22 40) (8 10 44) 3520 2100
    (2 31 57) (3 19 62) 3534 4214
    (1 49 78) (3 14 91) 3822 8486
    (4 23 42) (7 12 46) 3864 2309
    (3 34 40) (8 10 51) 4080 2765
    (2 34 60) (6 10 68) 4080 4760
    (2 39 55) (5 13 66) 4290 4550
    (4 33 34) (6 17 44) 4488 2261
    (3 34 44) (4 22 51) 4488 3101
    (4 26 48) (6 16 52) 4992 2996
    (5 27 39) (9 13 45) 5265 2275
    (2 51 52) (3 26 68) 5304 5309
    (3 35 54) (9 10 63) 5670 4150
    (5 32 36) (8 16 45) 5760 2345
    (2 41 72) (8 9 82) 5904 6869
    (3 26 76) (4 19 78) 5928 6461
    (11 13 42) (7 22 39) 6006 2054
    (4 32 49) (7 16 56) 6272 3441
    (3 45 49) (5 21 63) 6615 4435
    (10 12 56) (4 40 42) 6720 3380
    (13 14 40) (8 26 35) 7280 1965
    (7 30 36) (9 20 42) 7560 2245
    (10 16 48) (6 32 40) 7680 2660
    (4 40 48) (8 16 60) 7680 3920
    (5 33 49) (7 21 55) 8085 3515
    (4 23 90) (9 10 92) 8280 8645
    (7 24 54) (9 18 56) 9072 3541
    (4 42 55) (7 20 66) 9240 4805
    (11 12 70) (5 28 66) 9240 5165
    (3 44 70) (4 30 77) 9240 6845
    (2 56 84) (4 24 98) 9408 10196
    (13 15 49) (7 35 39) 9555 2795
    (3 50 65) (5 25 78) 9750 6734
    (11 12 74) (4 37 66) 9768 5741
    (4 37 70) (5 28 74) 10360 6285
    (3 44 80) (5 24 88) 10560 8345
    (11 15 65) (5 39 55) 10725 4571
    (13 14 60) (6 35 52) 10920 3965
    (10 13 84) (4 35 78) 10920 7325
    (10 33 36) (15 18 44) 11880 2485
    (12 15 66) (6 33 60) 11880 4725
    (10 12 99) (3 44 90) 11880 10045
    (3 58 69) (6 23 87) 12006 8134
    (5 32 76) (8 19 80) 12160 6825
    (4 54 57) (9 18 76) 12312 6181
    (15 16 52) (8 39 40) 12480 3185
    (6 40 52) (8 26 60) 12480 4340
    (10 35 36) (14 20 45) 12600 2621
    (4 56 57) (7 24 76) 12768 6401
    (10 23 56) (7 40 46) 12880 3765
    (14 17 56) (8 34 49) 13328 3621
    (3 62 72) (8 18 93) 13392 9037
    (4 48 70) (6 28 80) 13440 7220
    (10 16 85) (5 34 80) 13600 7581
    (12 14 81) (4 54 63) 13608 6901
    (10 27 51) (15 17 54) 13770 3430
    (5 49 58) (7 29 70) 14210 5790
    (12 22 56) (8 42 44) 14784 3764
    (7 44 48) (8 33 56) 14784 4289
    (4 48 77) (8 21 88) 14784 8249
    (10 20 75) (5 50 60) 15000 6125
    (14 15 72) (6 40 63) 15120 5605
    (4 55 72) (9 20 88) 15840 8225
    (11 35 42) (15 22 49) 16170 3110
    (11 21 70) (6 49 55) 16170 5462
    (10 26 63) (14 18 65) 16380 4745
    (16 18 57) (9 38 48) 16416 3829
    (13 16 80) (5 52 64) 16640 6825
    (6 39 72) (9 24 78) 16848 6741
    (5 38 91) (7 26 95) 17290 9750
    (5 48 74) (6 37 80) 17760 7805
    (15 19 63) (9 35 57) 17955 4555
    (4 57 80) (8 24 95) 18240 9665
    (12 34 45) (18 20 51) 18360 3325
    (15 16 78) (6 48 65) 18720 6565
    (11 35 50) (14 25 55) 19250 3846
    (16 17 72) (9 32 68) 19584 5729
    (10 44 48) (16 22 60) 21120 4340
    (13 24 68) (8 51 52) 21216 5369
    (13 38 44) (19 22 52) 21736 3549
    (5 56 78) (8 30 91) 21840 9245
    (15 18 84) (6 60 63) 22680 7605
    (5 57 81) (9 27 95) 23085 9835
    (15 17 91) (7 39 85) 23205 8795
    (12 40 49) (15 28 56) 23520 4145
    (18 19 69) (9 46 57) 23598 5446
    (6 47 88) (8 33 94) 24816 9989
    (13 38 51) (17 26 57) 25194 4214
    (10 49 52) (14 28 65) 25480 5205
    (10 37 69) (15 23 74) 25530 6230
    (15 24 72) (9 48 60) 25920 5985
    (10 36 72) (8 54 60) 25920 6580
    (12 27 80) (8 45 72) 25920 7273
    (12 24 90) (6 60 72) 25920 8820
    (12 34 65) (15 26 68) 26520 5525
    (11 39 62) (13 31 66) 26598 5486
    (12 23 98) (7 42 92) 27048 10277
    (16 20 88) (8 44 80) 28160 8400
    (14 27 75) (9 50 63) 28350 6550
    (11 48 54) (16 27 66) 28512 5341
    (17 19 90) (9 38 85) 29070 8750
    (13 30 76) (19 20 78) 29640 6845
    (12 46 55) (20 23 66) 30360 5285
    (14 24 92) (8 46 84) 30912 9236
    (15 23 91) (7 65 69) 31395 9035
    (12 49 54) (14 36 63) 31752 5461
    (13 28 88) (8 52 77) 32032 8697
    (7 66 72) (9 42 88) 33264 9589
    (10 37 91) (7 65 74) 33670 9750
    (15 26 88) (8 65 66) 34320 8645
    (7 56 90) (9 40 98) 35280 11285
    (12 34 88) (8 66 68) 35904 9044
    (16 25 90) (9 50 80) 36000 8981
    (11 48 70) (21 22 80) 36960 7325
    (11 36 96) (16 24 99) 38016 10633
    (13 51 60) (15 39 68) 39780 6370
    (13 44 70) (20 26 77) 40040 7005
    (15 52 54) (18 36 65) 42120 5845
    (10 54 78) (18 26 90) 42120 9100
    (12 39 90) (9 60 78) 42120 9765
    (16 48 55) (20 33 64) 42240 5585
    (7 76 80) (8 56 95) 42560 12225
    (10 56 77) (14 35 88) 43120 9165
    (7 70 88) (8 55 98) 43120 12693
    (15 46 63) (18 35 69) 43470 6310
    (18 49 52) (26 28 63) 45864 5429
    (10 64 72) (16 32 90) 46080 9380
    (17 44 62) (22 31 68) 46376 6069
    (10 68 69) (12 46 85) 46920 9485
    (21 23 99) (9 69 77) 47817 10771
    (14 44 78) (22 26 84) 48048 8216
    (11 56 78) (22 24 91) 48048 9341
    (10 65 76) (20 26 95) 49400 10101
    (12 63 66) (18 33 84) 49896 8469
    (17 49 60) (21 35 68) 49980 6290
    (14 57 65) (19 35 78) 51870 7670
    (12 55 80) (15 40 88) 52800 9569
    (10 63 84) (15 36 98) 52920 11125
    (13 49 85) (17 35 91) 54145 9795
    (14 51 76) (19 34 84) 54264 8573
    (16 45 76) (19 36 80) 54720 8057
    (11 57 90) (15 38 99) 56430 11470
    (12 62 77) (22 28 93) 57288 9917
    (12 69 70) (21 30 92) 57960 9805
    (16 52 70) (26 28 80) 58240 7860
    (13 56 80) (20 32 91) 58240 9705
    (15 51 77) (21 33 85) 58905 8755
    (11 63 85) (17 35 99) 58905 11315
    (20 51 58) (29 30 68) 59160 6365
    (14 60 72) (18 40 84) 60480 8980
    (20 49 62) (28 31 70) 60760 6645
    (12 64 80) (20 32 96) 61440 10640
    (11 63 91) (13 49 99) 63063 12371
    (21 55 58) (29 33 70) 66990 6830
    (19 52 69) (23 39 76) 68172 7826
    (12 64 91) (13 56 96) 69888 12521
    (17 55 75) (25 33 85) 70125 8939
    (16 63 70) (18 49 80) 70560 9125
    (15 66 72) (24 33 90) 71280 9765
    (21 50 68) (28 34 75) 71400 7565
    (16 60 77) (21 40 88) 73920 9785
    (17 65 69) (23 39 85) 76245 9275
    (14 70 78) (26 30 98) 76440 11180
    (22 51 70) (30 34 77) 78540 7985
    (19 45 92) (23 36 95) 78660 10850
    (20 51 80) (24 40 85) 81600 9401
    (14 76 77) (19 44 98) 81928 11901
    (17 65 76) (19 52 85) 83980 10290
    (17 70 76) (28 34 95) 90440 10965
    (19 55 87) (29 33 95) 90915 10955
    (24 55 72) (33 36 80) 95040 8785
    (20 66 72) (30 36 88) 95040 9940
    (22 45 96) (30 32 99) 95040 11725
    (24 62 65) (31 40 78) 96720 8645
    (23 48 88) (32 33 92) 97152 10577
    (20 70 72) (28 40 90) 100800 10484
    (21 65 77) (33 35 91) 105105 10595
    (18 76 77) (28 38 99) 105336 12029
    (24 55 82) (30 41 88) 108240 10325
    (19 70 87) (21 58 95) 115710 12830
    (21 72 80) (28 45 96) 120960 12025
    (26 56 85) (34 40 91) 123760 11037
    (24 68 77) (28 51 88) 125664 11129
    (22 70 84) (30 44 98) 129360 12440
    (21 77 81) (27 49 99) 130977 12931
    (23 76 78) (26 57 92) 136344 12389
    (30 63 91) (39 45 98) 171990 13150
    (31 69 82) (41 46 93) 175398 12446
    (31 75 78) (39 50 93) 181350 12670
    (30 76 81) (36 54 95) 184680 13237
    (32 69 86) (43 46 96) 189888 13181
    (33 76 80) (44 48 95) 200640 13265
    (34 77 84) (44 51 98) 219912 14141
    This last one results in two palindromes

    pipo

  2. David @InfinitelyManic says:

    May be a duplicate post. Something happened.
    A few more results because I search up to 100. Duplicates may exist.

    34 77 84 44 51 98 || 219912 219912 || 14141 14141
    33 76 80 44 48 95 || 200640 200640 || 13265 13265
    32 69 86 43 46 96 || 189888 189888 || 13181 13181
    31 69 82 41 46 93 || 175398 175398 || 12446 12446
    31 75 78 39 50 93 || 181350 181350 || 12670 12670
    30 63 91 39 45 98 || 171990 171990 || 13150 13150
    30 76 81 36 54 95 || 184680 184680 || 13237 13237
    26 56 85 34 40 91 || 123760 123760 || 11037 11037
    25 52 96 32 39 100 || 124800 124800 || 12545 12545
    25 76 82 38 41 100 || 155800 155800 || 13125 13125

    23 48 88 32 33 92 || 97152 97152 || 10577 10577
    23 76 78 26 57 92 || 136344 136344 || 12389 12389
    22 45 96 30 32 99 || 95040 95040 || 11725 11725
    22 70 84 30 44 98 || 129360 129360 || 12440 12440
    21 65 77 33 35 91 || 105105 105105 || 10595 10595
    21 72 80 28 45 96 || 120960 120960 || 12025 12025
    21 77 81 27 49 99 || 130977 130977 || 12931 12931
    20 70 72 28 40 90 || 100800 100800 || 10484 10484
    19 45 92 23 36 95 || 78660 78660 || 10850 10850
    19 55 87 29 33 95 || 90915 90915 || 10955 10955
    19 70 87 21 58 95 || 115710 115710 || 12830 12830

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