When the Concatenation of n || (n+1) is Pentagonal

 
 
Pentagonal numbers are of the form    n \, (3 \, n - 1) \,/ \,2

 

We can write

10^{n} \; x \; + \; (x + 1) \; = \; y \, (3 \, y - 1)/2

Or

(10^{n} + 1) \, x \; + \; 1 \; = \; y \, (3 \, y - 1)/2

the integer length of   x   is   n

 
Here are the first few solutions
 

n = 1

1 \; || \; 2 \; = \; 12 \; = \; P_3

n = 2

16 \; || \; 17 \; = \; 1617 \; = \; P_{33}

n = 3

166 \; || \; 167 \; = \; 166167 \; = \; P_{333}
321 \; || \; 322 \; = \; 321322 \; = \; P_{463}
550 \; || \; 551 \; = \; 550551 \; = \; P_{606}
796 \; || \; 797 \; = \; 796797 \; = \; P_{729}

n = 4

1666 \; || \; 1667 \; = \; 16661667 \; = \; P_{3333}

n = 5

16666 \; || \; 16667 \; = \; 1666616667 \; = \; P_{33333}
60746 \; || \; 60747 \; = \; 6074660747 \; = \; P_{63638}
72864 \; || \; 72865 \; = \; 7286472865 \; = \; P_{69697}

n = 6

166666 \; || \; 166667 \; = \; 166666166667 \; = \; P_{333333}
472175 \; || \; 472176 \; = \; 472175472176 \; = \; P_{561056}
894621 \; || \; 894622 \; = \; 894621894622 \; = \; P_{772279}

n = 7

1666666 \; || \; 1666666 \; = \; 16666661666667 \; = \; P_{3333333}
3099175 \; || \; 3099176 \; = \; 30991753099176 \; = \; P_{4545456}

n = 8

16666666 \; || \; 16666667 \; = \; 1666666616666667 \; = \; P_{33333333}
23068050 \; || \; 23068051 \; = \; 2306805023068051 \; = \; P_{39215686}

n = 9

109671214 \; || \; 109671215 \; = \; 109671214109671215 \; = \; P_{270396270}
166666666 \; || \; 166666667 \; = \; 166666666166666667 \; = \; P_{333333333}
228165789 \; || \; 228165790 \; = \; 228165789228165790 \; = \; P_{390013495}
255668066 \; || \; 255668067 \; = \; 255668066255668067 \; = \; P_{412850309}
269972451 \; || \; 269972452 \; = \; 269972451269972452 \; = \; P_{424242424}
324618604 \; || \; 324618605 \; = \; 324618604324618605 \; = \; P_{465201465}
346929800 \; || \; 346929801 \; = \; 346929800346929801 \; = \; P_{480922586}
380660299 \; || \; 380660300 \; = \; 380660299380660300 \; = \; P_{503759400}
443674976 \; || \; 443674977 \; = \; 443674976443674977 \; = \; P_{543859649}
463888425 \; || \; 463888426 \; = \; 463888425463888426 \; = \; P_{556110556}
481717321 \; || \; 481717322 \; = \; 481717321481717322 \; = \; P_{566696463}
574829931 \; || \; 574829932 \; = \; 574829931574829932 \; = \; P_{619047619}
582897624 \; || \; 582897625 \; = \; 582897624582897625 \; = \; P_{623376625}
604397029 \; || \; 604397030 \; = \; 604397029604397030 \; = \; P_{634768740}
648667596 \; || \; 648667597 \; = \; 648667596648667597 \; = \; P_{657605554}
684912050 \; || \; 684912051 \; = \; 684912050684912051 \; = \; P_{675727781}
731988739 \; || \; 731988740 \; = \; 731988739731988740 \; = \; P_{698564595}
756057794 \; || \; 756057795 \; = \; 756057794756057795 \; = \; P_{709956710}
765306125 \; || \; 765306126 \; = \; 765306125765306126 \; = \; P_{714285716}
881598139 \; || \; 881598140 \; = \; 881598139881598140 \; = \; P_{766636872}
906112871 \; || \; 906112872 \; = \; 906112871906112872 \; = \; P_{777222779}
934903050 \; || \; 934903051 \; = \; 934903050934903051 \; = \; P_{789473686}

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Advertisements

About benvitalis

math grad - Interest: Number theory
This entry was posted in Number Puzzles and tagged , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s