Fibonacci number | ceiling(√e^n) for n=0,1,…,8

 
The first few Fibonacci numbers are:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, …
 
 

ceiling(√e^0)  =  1

ceiling(√e^1)  =  2

ceiling(√e^2)  =  3

ceiling(√e^3)  =  5

ceiling(√e^4)  =  8

ceiling(√e^5)  =  13

ceiling(√e^6)  =  21

ceiling(√e^7)  =  34

ceiling(√e^8)  =  55
 

As you can see, we get the first few terms of the Fibonacci sequence.

But   ceiling(√e^9)  =  91   is not a Fibonacci number
 

Other few examples,

 

n     ceiling(√e^n)                    F(n+2)                         ceiling(e^((n+2)/2 – 1)) – F(n+2)

9                   91                                        89                                                    2
10               149                                     144                                                   5
11               245                                     233                                                    12
12              404                                     377                                                    27
13              666                                      610                                                    56
14             1097                                    987                                                    110
15             1809                                   1597                                                   212
16             2981                                   2584                                                  397
17            4915                                    4181                                                  734
18            8104                                   6765                                                  1339
19            13360                               10946                                                2414
20           22027                               17711                                                 4316
21            36316                               28657                                                 7659
22           59875                                46368                                              13507
23           98716                                 75025                                             23691
24           162755                             121393                                            41362
25           268338                             196418                                            71920
26           442414                            317811                                             124603
27           729417                             514229                                            215188
28           1202605                          832040                                          370565
29           1982760                         1346269                                          636491
30           3269018                         2178309                                         1090709
31           5389699                          3524578                                        1865121
32           8886111                           5702887                                       3183224
33           14650720                      9227465                                        5423255
34          24154953                      14930352                                      9224601

 
 

Can you find an  n > 34  such that  ceiling(√e^n)  is a Fibonacci number?

 
 

@republicofmath suggested to plot log(ceiling(√e^n)) versus log(F(n+2))
Result is almost straight line (r^2 = 1.0   for   1 ≤ n ≤ 500).
If the regression line is forced to go through (0,0) the slope is 1.03802

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Advertisements

About benvitalis

math grad - Interest: Number theory
This entry was posted in Math Beauty, Number Puzzles and tagged . Bookmark the permalink.

One Response to Fibonacci number | ceiling(√e^n) for n=0,1,…,8

  1. Gary E. Davis says:

    Ben, a plot of log(Fibonacci(n+2)) versus log(Ceiling(Sqrt(e^n))) for 1<= n <= 500 is close to linear (r^2=1.0). If the regression line is forced to go through (0,0) the slope is 1.03802

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s