Repeating decimal 0.19 and 0.199

0.19   stands for the repeating decimal   (= 19/99):

0.1919191919191919191919191919191919191919191919191919…

and   0.199   for   (= 199/999)

0.1991991991991991991991991991991991991991991991991991…
 
0.19   +   0.199   =   19/99   +   199/999   =   391118/999999

that is,

0.3911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183
911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911183911
18391118391118…

 

Repeating decimal:    0.391118   (period 6)

 
 
0.19 * 0.199   =   19/99 * 199/999 =   3781/98901

3781/98901   =   3780/98901   +   1/98901

3780/98901   =   140/3663

0.0382200382200382200382200382200382200382200382200382200382200
3822003822003822003822003822003822003822003822003822003822003822
0038220038220038220038220038220038220038220038220038220038220038
2200382200382200382200382200382200382200382200382200382200382200
38220038220038220038220038220038220038220038220038220038220038220
03822003822003822003822003822003822003822003822003822003822003822
0038220038220038220038220038220…

Repeating decimal:    0.0382200   (period 6)
 
 
And   1 / 98901 =   is interesting:

0.0000101111212222323333434444545555656666767777878888990000101
111212222323333434444545555656666767777878888990000101111212222
323333434444545555656666767777878888990000101111212222323333434
444545555656666767777878888990000101111212222323333434444545555
656666767777878888990000101111212222323333434444545555656666767
777878888990000101111212222323333434444545555656666767777878888
9900001011112122223233334344445455556566667677778788889900001011
1121222232333343444454555565666676777787888899000010111121222232
3333434444545555656666767777878888990000101111212222323333434444
5455556566667677778788889900001011112122223233334344445455556566
6676777787888899000010111121222232333343444454555565666676777787
8888990000101111212222323333434444545555656666767777878888990000
1011112122223233334344445455556566667677778788889900001011112122
2232333343444454555565666676777787888899000010111121222232333343
4444545555656666767777878888990000101111212222323333434444545555
6566667677778788889900001011112122223233334344445455556566667677
7787888899000010111121222232333343444454555565666676777787888899
0000101111212222323333434444545555656666767777878888990000101111
2122223233334344445455556566667677778788889900001011112122223233
3343444454555565666676777787888899000010111121222232333343444454
5555656666767777878888990000101111212222323333434444545555656666
7677778788889900001011112122223233334344445455556566667677778788
88990000101111212222323333434444545555656666767777878888990000101
11121222232333343444454555565666676777787888899000010111121222232
33334344445455556566667677778788889900001011112122223233334344445
45555656666767777878888990000101111212222323333434444545555656666
76777787888899000010111121222232333343444454555565666676777787888
89900001011112122223233334344445455556566667677778788889900001011
11212222323333434444545555656666767777878888990000101111212222323
33343444454555565666676777787888899000010111121222232333343444454
55556566667677778788889900001011112122223233334344445455556566667
67777878888990000101111212222323333434444545555656666767777878888
99000010111121222232333343444454555565666676777787888899000010111
12122223233334344445455556566667677778788889900001011112122223233
33434444545555656666767777878888990000101111212222323333434444545
55565666676777787888899000010111121222232333343444454555565666676
77778788889900001011112122223233334344445455556566667677778788889
90000101111212222323333434444545555656666767777878888990000101111
21222232333343444454555565666676777787888899000010111121222232333
34344445455556566667677778788889900001011112122223233334344445455
55656666767777878888990000101111212222323333434444545555656666767
77787888899000010111121222232333343444454555565666676777787888899
000010111121222232333343444454555565666676777787888899000010111121
222232333343444454555565666676777787888899000010111121222232333343
444454555565666676777787888899000010111121222232333343444454555565
666676777787888899000010111121222232333343444454555565666676777787
8888990000101111212222323333434444545555656666767777878888990000101
1112122223233334344445455556566667677778788889900001011112122223233
33434444545555656666767777878888990000101111212222323333434444545555
65666676777787888899000010111121222232333343444454555565666676777787
8888990000101111212222323333434444545555656666767777878888990000101
1112122223233334344445455…

 

0.0000101111212222323333434444545555656666767777878888990000   (period 54)

 
Can you generalize this?
 
 
 

Advertisements

About benvitalis

math grad - Interest: Number theory
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s